Donc p²= (2n+1)²=4n²+4n+1. b- déduire la parité de n²+5n+7. 2. 2- Montrer que si n est pair alors 2 est pair. 3. 3. Si n est impair, n et 5n3 sont impairs et de nouveau 5n3 +n est pair. Ceci ne se démontre pas directement. Z Montrer que si n est impair alors n 5 ± n est divisible par 240. Si on suppose f ([a, b]) ⊂ Z et que f n’est pas constante, alors il existe deux valeurs z 1, z 2 avec z 1 ≠ z 2 et deux réels (i, j) ∈ [a, b] 2 et i ≠ j tels que f (i) = z 1 et f (j) = z 2. L’écriture d’un nombre pair est donc 2 n Définition : Un nombre impair est un nombre qui n’est pas pair. CQFD On suppose que u 0 ∈[1 4, 3 4] , montrer que ∀n,u n ∈[1 4, 3 4] puis que (u n) n∈ℕ est décroissante. Pour la première partie de la question (montrer que le carré d'un nombre pair est pair) c'est vraiment trop facile: si n est pair, alors il existe un entier p tel que n = 2p. Remarques 1) Montrer que 2) Déterminer tous les couples d’entiers naturels (x ; y) tels que x² − y² = p² 1) Si p est un nombre premier différent de 2, alors p est impair. Montrer que si ² est pair alors n est pair. 6n+5 est impaire car 6n+5=6n+4+1=2×(3n+2)+1. IV ... La méthode consiste à dire que si n’ est multiple de 7, alors n l’est aussi. 2 n – 1 ne peut être premier que si n l'est. Exemple : démontrer que pour tout entier n, n 3 - n est pair. 3. 1.4. Si p est impair, alors p s’écrit p=2n+1. Dans le premier cas, on peut écrire k = 2 m n, où 2 m c'est la puissance maximale qui divise k et n est un nombre impair. Si n est de la forme 3p+1, alors Par contre 1 est impaire, et la somme de deux paires avec un impaire donne un impaire. 2. c) Soit n un entier naturel. Par conséquent au moins l'un d'entre eux est pair qui est divisible par 2 et au moins l'un d'entre eux est un multiple de 3 donc divisible par 3. Devoir de contrôle N° 3 Mr : Amri Lotfi 05-05-2012 Durée : 2h Classe : 3M Exercice N° 1:(5points) ( les questions 1, 2 , 3 et 4 sont indépendants) 1) Montrer, par récurrence , que pour tout entier naturel n, 4n – 1 est divisible par 3 2) Déterminer les entiers naturels a et b tels que 35(a+10) = 27(b+13) Exemples : 1 , 3 , 15 , 247 , 35 769 sont des nombres impairs. Et que 3 divise 3−. Or cela est clair, car sinon n+1 serait le plus petit élément de A. Montronsmaintenantque(ii)implique(i). Y Montrer que n 5 ± n est divisible par 30. Que (n + 2) − 2 est multiple de 4 . Donc p² est impair, ce qui est faux. On vient de prouver que si un nombre est impair alors son carré aussi. Si l'introuvable planète 9 est un trou noir, alors le LSST le détectera, Science décalée : pourquoi un rasoir s'use si vite alors que les poils sont plus mous que lui, Par Alexsss9 dans le forum Mathématiques du supérieur, Par saywow dans le forum Mathématiques du supérieur, Par sarah_64 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée, Par SanjaClaude dans le forum Mathématiques du supérieur, Fuseau horaire GMT +1. Si S R est égale à 3 ou 6, alors le nombre est un multiple de 3, mais pas de 9. Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8. Et donc, 4n²+4n+1 est un nombre impair et donc a² est un nombre pair. Exercice 5 Soit a et b deux entiers. Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective. 2. Alors 89q 2 = p2 . Mais je vais essayer te t'aider. 2. On peut même démonter que: si a et n sont des entiers plus grand que 1, si a n – 1 est premier, alors a = 2 et n est premier. Solution : est pair alors : ak 2 avec k Impair alors : bk 21c avec kc a b k k k k k c c cc 2 2 1 2 1 2 1 Donc : ab est un nombre impair Exercice : Montrer que si est impair alors a2 est un nombre impair Solution : est impair alors : ak 21 avec Si a est impair alors ac est impair (produit de deux nombres de même parité). Exercice 3: Soit n un entier naturel supérieure à 1. ... Montrer que si m² est pair alors m est pair. Si n est pair, n et 5n3 sont pairs de même que 5n3 +n et 2 divise 5n3 +n. Ayant coupé le plan par n droites, on a un certain nombre de régions, disons R n. TaleS – Spé Math 2006-2007 fiche 4 - révision du DS n°1 - correction Remarque : l’énoncé aurait dû préciser que n était un entier naturel. 1. Si M est majorant de Un , alors tout réel M'>M l'est également. Ainsi par contraposé : 2 non pair implique non paire. En mathématiques, lors d'une étude de fonction, il vous arrivera peut-être d'être obligé de déterminer si cette dernière est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Remarque : 24 peut s’écrire 2 x 12. Soit un réel positif, Si ∀ > 0, Q alors … 89 est premier (exo 4) donc 89√divise p : il existe k, p = 89k. Au programme : détermination de la parité d'entiers relatifs, problèmes sur les nombres pairs et impairs Calculer le plus grand commun diviseur des nombres 5145, 4410 et 3675. Répondre: 2 Bonjour pouvez-vous m’aider svp Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair - econnaissances.com Sinon n est impair . Pourquoi fait-il plus chaud l’été alors que les jours raccourcissent ? Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a – b est divisible par n. On note a≡b⎡⎣n⎤⎦. Alors k est un nombre pair ou impair. Supposons que n est pair alors il existe un entier tel que =2 )et ainsi 2=(2 2=4 =2(2 2) donc 2 est pair aussi. 3- Montrer que si n est impair alors 2 est impair. En déduire que (u n) n∈ℕ diverge vers +∞ Exercice 17. Si n = 2, 4 régions. Montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6 revient à montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 2 et par 3 . Comment savoir si une fonction est paire ou impaire. 4. Quand p = 4, tout entier q est congru à 0, 1, 2 ou 3 mod 4. Ce sous-groupe est constitué des permutations produits d'un nombre pair de transpositions. n^3-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1) Donc n^3-n est le produit de trois nombres consécutifs. Si n est impair, alors n + 1 est pair donc le produit est pair. On choisit sans perte de généralité z 1 < z 2. c Club Pythagore, 2007 1. 6 est un nombre pair car 6 est un multiple de 2, c’est car 6 peut s’écrire 2 x 3. Si n = 2k + 1 (impair) alors … Si a est pair alors a+b+c est impair Si a est impair alors a+b+c est pair Si a est pair alors ac est pair (produit de deux nombres de même parité). 5. 1) Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$. Utilisation de la fonction modulo. Pour moi, le plus "simple" serait de partir de \( n^2(n^2-1) \) Montrer que ceci est divisible par 4 est simple : tu étudie le cas ou n est pair et le cas ou n est impair et montre que tu peux mettre 4 en facteur. Établir réciproquement que si n² est pair, alors n est pair. Et que (n + 2)2 − (n− 2)2 est multiple de 8. Supposons P(n) vraie, alors il suffit de montrer que n+1 6∈A pour avoir P(n+1). Donc il y a une contradiction. Donc si k est un nombre naturel, on peut écrire k = 2 m n, où m ∈ N 0, n ∈ N. Correction del’exercice2 N 1.Soit n un entier relatif. Montrer que ces suites ont la même limite. Je te donne un exemple de "vrai" … pose que si m² est pair, alors m peut être impair : m impaire => m=2k+1, où k est la partie entière de m/2. Correction 6 Si n = 2k (pair) alors 4 divise n2 = 4k 2 . 3- soit n un entier naturel : a- développer (n+2)(n+3). Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais égal à 3. Donc q 2 = 89k 2 et 89 divise q. C’est une contradiction donc 89 est irrationnel. n 5k 1 alors . Indication pourl’exercice10 N 1.Montrer que (u n) est croissante et (v n) décroissante. On veut montrer que si un produit de deux entiers est impair , alors les deux entiers sont impairs La contraposée de cette proposition est : le produit de deux entiers dont l'un au moins est pair est un entier pair Montrons la : Soient a = 2p et b = 2k + 1 alors ab = 4bk + 2p = 2( 2bk + p) Remarqu 3) Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5. Le motif « rouge, bleu, blanc, blanc » correspondant aux tuiles (0, 0), (1, 0), (2,0) et (3,0) se répète ensuite indéfiniment. Donc si j'ai bien compris, on écrit sous cette forme : , on compare avec le polynôme qui est divisible par quand est est impair. Pour 12 066 : S R = 1 + 2 + 6 + 6 = 15, puis S R = 6, donc 12 066 est divisible par 3 … (disjonction des cas), Futura-Sciences : les forums de la science, Démontrer qu'il n'existe aucun entier entre a-1 et a, demontrer que √(n^2+1) n'est pas un entier, HELP - démontrer que pour tout entier n on a 3n²>(n+1)², Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif, transformation saunier duval C23E propane vers gaz natuel. Une transposition est une permutation qui échange deux éléments et fixe tous les autres. Exemples Pour 351 : 3 + 5 + 1 = 9, donc 351 est divisible par 9 donc par 3. 2. Nous savons que a2 +b2 +c2 3 (mod 8). Dans ce cours, nous allons faire le point sur les différents types de raisonnement qui existent en mathématiques. Explications. Montrer que si n est impair, alors a est divisible par 5. 2.Montrer que (u n) est majorée et (v n) minorée. ∗ On conclut que 2k +1 ne peut pas ˆetre pair et donc est impair. 1. Les nombres pairs se terminent. En utilisant cette écriture, montrer que n est un multiple de 4. Pair en informatique . Et enfin : b est un nombre pair. Solution : est pair alors : ak 2 avec k Impair alors : bk 21c avec kc a b k k k k k c c cc 2 2 1 2 1 2 1 Donc : ab est un nombre impair Exercice : Montrer que si est impair alors a2 est un nombre impair Solution : est impair alors : ak 21 avec La conclusion est que l’hypothèse de départ est fausse donc a2 +b2 +c2 n’est pas un carré. Soit p un entier naturel tel que p² est pair. Exercice 15. Bac S – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019, Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac S – Nouvelle Calédonie – Février 2020, Bac S – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020, Bac ES/L – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019, Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2019, Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2019, Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2020, Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020, Bac STMG – Centres étrangers / Pondichéry – Juin 2019, Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2019, Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2020, Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2020, DNB – Centres étrangers, Pondichéry – Juin 2019, DNB – Métropole Antilles Guyane- Septembre 2020. Montrer que si 3 | a3 + b3, alors 3 | (a + b)3. Autrement dit Si n est impair alors n est impair 2. 3. 1. supposons que . On suppose que u 0 > 3 4, montrer que ∀n,u n > 3 4 puis que (u n) n∈ℕ est croissante. Exercice 20 : Montrer que : x y x y x yz z 1 1 1 1 Exercice 21 : Soit et p Montrer … Or : Si a est pair, alors a 2 est pair (si a = 2n, alors a 2 = 4n 2 est divisible par 2.) On nomme suite divergente toute suite non convergente. 3- Montrer que si n est impair alors 2 est impair. 1. Détection par le reste de la division par le 2. Si n mod 2 = 0 alors n est pair. En déduire que (u n) n∈ℕ converge et donner sa limite 4. 1er cas : n est pair. Si nous pouvons détecter rapidement si un nombre est pair ou pair, comment faire dans un programme informatique. Exercice c.9 Pour les premiers entiers on trouve : si n = 1, 2 régions délimitées. 2 5. a s'écrit de la forme 2n+1 où n est un entier. Bonsoir, comme le titre l'indique, je dois montrer que si n est pair, alors n 2 est pair, et je ne suis vraiment pas sûr que mon raisonnement est juste : Un réel n est pair s'il vérifie l'égalité n=2 avec n Or n 2 =4 2 =2(2 2) et (2 2)= Merci beaucoup pour votre aide ! Si n est multiple de 3, n et 5n3 sont multiples de 3 de même que 5n3 +n. En continuant à ajouter des droites pour couper le plan en régions, on voit qu’il se passe la chose suivante. Ce résultat est admis. Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair. Je préfère ne pas te donner la réponse (qui est d'ailleurs *vraiment* très facile à trouver). Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais égal à 3. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n+2 ≡ u n (4). Si a est impair, alors a 2 est impair (si a = 2n + 1, alors a 2 = 4n 2 + 4n + 1 n'est pas divisible par 2.) Tu as une interprétation géométrique et ta visualisation est correcte (et sans doute utile si tu as une bonne vision dans l’espace), mais qualifier ça d’une preuve est assez discutable quand on est à un niveau aussi élémentaire. Donc n^3-n est divisible par 2*3 à savoir 6 ! En effet, φ est le produit d'un nombre pair de transpositions, et le paragraphe précédent montre que σ −1 se décompose en autant de transpositions que σ. Montrer que si l’entier n est premier, alors n + 7 n’est pas premier. 1- Montrer que n×(n+1) est pair et déduire la parité de 472+47. Salut tout le monde, j'ai bezoin d'une explication pour montrer que: pour tout nEN si n 2 est pair alors n est pair on utilisie la contraposée: si n est impair alors n 2 est impair comme n est impair , n = 2k+1 donc n 2 = (2k+1) 2 = 4k 2 +4k+1 = 2(2k 2 +2k)+1 donc n 2 est impair #bon ma question est : Exercice 2: Soit n un entier naturel. 3. Dans toute la suite de l'article, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. Autrement dit, si n 2 est pair, alors n est pair. Le RV du Dr Cocaul : alors, pour ou contre le bio ? De même, que dire de n^3-n si n est impair ? Dans tous les cas n2 n’est pas congru à 3 modulo 8. 2. Donc p est pair (raisonnement par l’absurde). Exercice 12 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carr´es d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais ´egal a 3. 2. Deux entiers a et b sont congrus modulo n, si et seulement si, la division euclidienne de a par n a le même reste que la division euclidienne de b par n. Démonstration : - Si r = r': Alors, on a : a²=(2n+1)² =4n²+4n+1. On peut aussi dire que: Une suite croissante est minorée par son premier terme Une suite décroissante est majorée par son premier terme Or, cette expression est la même que Pn+1 donc si Pn est vraie alors Pn+1 l'est aussi. • Finalement, on peut dire que l’ensemble de tous les entiers positifs peut ´etre divis´e en deux groupes: si un entier n’est pas pair, c.-a`-d. de la forme 2k, il doit ˆetre de la forme 2k + 1 un nombre impair. Si g f est injective et f est surjective alors g est injective. q est premier, donc q = 2. Donc : a est un nombre pair. n + 7 est donc égal à 9, qui n’est pas premier. On montre que la contraposée est vraie. b) Interprétation graphique sur un exemple 1.3. Si g f est injective alors f est injective. 4n² est un nombre pair car divisible par 2; 4n est un nombre pair car divisible par 2. Montrer que si 3n+2 est impair alors n est impair : exercice de mathématiques de niveau autre - Forum de mathématiques Exercices corrigés sur l'arithmétique en 2nd. ... Montrer que si m × n est impair, alors m et n sont impairs. 4- Déduire la parité de 3 si n est pair. Si p= 2k+1 1 est premier, alors la décomposition du nombre nqui nous intéresse est 2kp: il s'agit des 2i avec ientre 0 et ket des 2ipavec ientre 0 et k.La somme des premiers autv 2k+1 1 = pet la somme des seconds (2k+1 1)p= p2.La somme des diviseurs de nautv donc p+p2 = p(p+1) = 2k+1(2k+1 1) = 2n. Que dire de la somme d'un nombre impair et d'un nombre pair ?, justifiez votre réponse. n→+∞ un=l On dit alors que la suite(un)converge vers l et que la suite(un)est une suite convergente. Déduire des questions précédentes le reste de la division euclidienne de 1671 par 5. p étant premier, p = 2. 2ème cas : n est impair. 1. Principe. 2- Montrer que si n est pair alors 2 est pair. Montrer la transitivité de l’implication, c’est-à-dire que, pour toutes propositions , et , Finalement : 8n2Z; 2j(5n3 +n). 3.Raisonner par l’absurde : si la limite ‘ = p q alors multiplier l’inégalité … Exercice 3: Que 6 n + 9 est multiple de 3. Si n = 3, 7 régions. 3. Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8. Comment savoir si une fonction est paire ou impaire. b) ... De la même façon, on établit que si m-n est impair alors m+n est impair. 2) On veut démontrer que le nombre réel n’est pas rationnel.pour cela on raisonne par l’absurde.On suppose que où p et q sont des entiers tels que la fraction est irréductible. Montrer que si 2 est impair, alors est impair. 24 est un nombre pair. Exercice 10 Soit p un nombre premier différent de 2. La divisibilité par 2 est évidente puisque soit n est pair et alors n(n+1)(2n+1) est bien divisible par 2, soit n est impair et alors n+1 est pair, et donc n(n+1)(2n+1) est divisible par 2. Pour ta question suivante, je pense qu'on peut remarquer qu'un entier s'écrit sous la forme n=10k+x, avec x entier entre 0 et 9, k entier. Soit un entier naturel. 3. Supposons que 89 = pq avec p, q premiers entre eux. Exercice2: (correction) soit n et k deux entiers naturels. 2) Existe-il au moins un point de la droite $\Delta$ dont … X Montrer que n (n 4 ± 1) est un multiple de 5. Si x est pair alors xy est pair Si y est pair alors xy est pair Donc si xy n'est pas pair alors ni x, ni y ne sont pairs. Il s'agit ici d'une démonstration par l'affirmation opposée, dite par contraposée. Si k est impair, alors nous pouvons écrire k = n, où n est un nombre impair. Impair est bien le contraire de pair. Nous allons aussi insister sur les éléments de rédaction afin de vous préparer au mieux pour le supérieur. Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair. Alors on sépare les cas où n est pair et où n est impair. Si n est impair alors n2 1 (mod 8) et si n est pair alors n2 0 (mod 8) ou n2 4 (mod 8). Si g f est surjective alors g est surjective. On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives. Si S R est égale à 9, alors le nombre est un multiple de 9, et donc de 3. En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le groupe alterné de degré n, souvent noté An, est un sous-groupe distingué du groupe symétrique des permutations d'un ensemble fini à n éléments. par (0, 2, 4, 6, 8). Exercice 15. En particulier, on peut trouver que \( U_{n+1} = U_n + 4n^3 + 6n^2 +2n\) mais cela ne nous donne rien. Partie B 1. En mathématiques, lors d'une étude de fonction, il vous arrivera peut-être d'être obligé de déterminer si cette dernière est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. OnsedonneunepropriétéP(n)vraiepourn = 0ethéréditaire et il s’agit de montrer que P est vraie pour tous les entiers n ≥ 0. b- montrer que a+b est un multiple de 5. n 3 - n = n (n² - 1) = n(n + 1)(n - 1) Donc si n est pair, alors le produit est pair (car l'un des facteurs est n). Pour que n + 7 soit premier, il faudrait que n + 7 = 2, c’est à dire n = −5. 4. 2 étant le plus petit des nombres premiers, il est impossible que p < q. Donc p est pair, q est impair. Exercice 3 [ 01503 ] [Correction] Soit f: N → Z définie par f (n) = n / 2 si n est pair-n + 1 2 sinon Montrer que f est bien définie et bijective. Montrer que, si chaque membre de l’égalité existe, alors on a : Mn = 1 (i2π)n G(n) (−f) f=0 où G(n) est la dérivée n-ième de la Transformée de Fourier de g(t) (c) Montrer que si x(t) est réel alors |X(f)| est pair et argX(f) est impaire. m² = (2k+1)²=4k²+1+4k. 2. Exercice 6 1. Chaque entier est congruà0,1 ou2 modulo3,maispasàplusqu’unparmilestrois.Etc. Dire que A n est distingué revient à dire que si φ est élément du sous-groupe et si σ est une permutation quelconque de S n, alors la permutation σφσ −1 est paire. n + 7 est donc pair. Exercice 13 D´emontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8. Propriété : Soit n un entier naturel non nul. Donc, 4n²+4n est un nombre pair. 4k et 4k² sont pair quelque soit k car la multiplication par 4 rend pair. Exercice 16 : Montrer que n n n 12 est un multiple de 3 pour tout n . Propriété à démontrer: Si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors p² - 1 est toujours un multiple de 24 (autrement dit, 24 divise p² - 1) Pour cela : 24 = 2 x 2 x 2 x 3 (décomposition en facteurs premiers) donc si je montre que p² - 1 est divisible par 2, trois fois, puis par 3, ça sera bon. Si g f est surjective et g est injective alors f est surjective. Dès lors je t'invite à montrer que n² et x² ont le même chiffre des unités, et a en tirer une conclusion. Et ça ne marche pas si n est pair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair. Exercice 17 : x et y Montrer que : xz2 et yz2 z2 2 2 2x y xy Exercice 18 : et xz 5 Montrer que : xz 8 2 2 5 x x z Exercice 19 : Soit n . La définition précédente repose sur une propr… Proposition Si une suite admet une limite alors celle-ci est unique. (on pourra montrer que u n+2 – nu n est un multiple de 4) u = 5 6 =2 u 36= 6u 9 Comme 6u n – 9 est un entier, on peut dire que u n+2 – u n est divisible par 4 et donc que u n+2 ≡ u n (4). Montrer, que pour tous réels et , Ὄ ≠ Ὅ⇒ὌὌ +ႅὍ −ႅὍ≠Ὄ −ႅὍὌ +ႅὍ. Si p est impair et q est pair. Énoncer la propriété qui se trouve ... Pour 838, on s'intéresse à 38 : il est pair, mais sa moitié 19 est un nombre impair, donc 838 n'est pas un multiple de 4. (b) Calculer f f, en déduire que f est une bijection dont on déterminera l’application réciproque. ∗ On conclut que 2k +1 ne peut pas ˆetre pair et donc est impair. CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 27 Donc chaque entier est congru à 0 ou 1 modulo 2, mais pas aux deux. 4n est paire car 4n=2×2n. Si n² est impair alors n est impair. Démontrer que n² est impair. Montrer que si n est pair, alors le reste de la division euclidienne de a par 5 est 2. • Finalement, on peut dire que l’ensemble de tous les entiers positifs peut ´etre divis´e en deux groupes: si un entier n’est pas pair, c.-a`-d. de la forme 2k, il doit ˆetre de la Quand n est impair, x=-1 est solution, donc (1+x) se met en facteur et on voit assez facilement que ça veut dire que(a+b) est en facteur. b) Soit n un entier naturel impair. Décomposer chaque nombre en un produit d. Donc n 2 =(2k+1) 2 =4k 2 +4k+1, et comme les deux premiers termes de cette somme sont pairs on en déduit que n 2 est impair. Comme n est premier alors n = 2 (2 est le seul nombre premier). Le même système est utilisable dans n'importe quelle base paire. (Ce qui la manière poétique de dire x est nonpair et y est non pair) Dans les textes courants, il est rare de formaliser plus. Il est actuellement, Démontrer si n entier natuel, alors n^3 - n est pair ? Si n = 4, 11 régions. On veut montrer que si un produit de deux entiers est impair , alors les deux entiers sont impairs La contraposée de cette proposition est : le produit de deux entiers dont l'un au moins est pair est un entier pair Montrons la : Soient a = 2p et b = 2k + 1 alors ab = 4bk + 2p = 2( 2bk + p) Remarqu 3) Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5. Pour la réciproque, on notera s(n) la somme des diviseurs d'un entier n. Exercice 4.