Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Repère_de_Frenet&oldid=176890033, Article contenant un appel à traduction en anglais, Article avec une section vide ou incomplète, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, si on renverse l'orientation de la courbe, l', si on renverse l'orientation de l'espace ambiant, l'abscisse curviligne et le vecteur. est de classe Le cadre est le plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormal, les coordonnées sont notées En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit s adapt es vos centres d’int r ts.. . → 2 If the torsion is always zero then the curve will lie in a plane.  : Elle s'écrit sous la forme → C The Frenet–Serret formulas admit a kinematic interpretation. On suppose de nouveau l'arc birégulier. An alternative way to arrive at the same expressions is to take the first three derivatives of the curve r′(t), r′′(t), r′′′(t), and to apply the Gram-Schmidt process. → k Vector notation and linear algebra currently used to write these formulas were not yet in use at the time of their discovery. Le vecteur normal unitaire . {\displaystyle {\overrightarrow {T}}} κ 1 Animez le point M, observez les vecteurs, , le cercle osculateur et le rayon de courbure, Nouvelles ressources. Given a curve contained on the x-y plane, its tangent vector T is also contained on that plane. Les formules de Serret-Frenet expriment la façon dont ce repère bouge le long de la courbe. {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} Si la courbe est donnée en coordonnées polaires paramétriques r(t),θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile. γ Le repère de Frenet, et les formules de Frenet donnant les dérivées des vecteurs de ce repère, permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts géométriques associés aux courbes : cercle osculateur, plan osculateur, parallélisme des courbes (en) … N → n On donne à le point de coordonnées Ce vecteur a donc un mouvement similaire à celui de l'axe d'une toupie, d'où l'expression "précession constante". ) On aurait pu éviter tous ces calculs en utilisant le reparamétrage u=t2. est orthogonal à , {\displaystyle {\overrightarrow {N}}={\overrightarrow {k}}\wedge {\overrightarrow {T}}} s N A helix has constant curvature and constant torsion. C Les formules de Frenet, donnant les dérivées des vecteurs de la base de Frenet, s'écrivent à l'aide de la courbure[6], Reprenant un arc paramétré Le rayon de courbure est constant, égal à 1. T R +! γ ) ( χ "L'origine du repère de Frenet est le point M(s)" : dans ce cas le point est fixe, il n'y plus ni vitesse ni accélération on ne sait plus ce que s veut dire. The Frenet–Serret frame consisting of the tangent T, normal N, and binormal B collectively forms an orthonormal basis of 3-space. s Le repère de Frenet est constitué en prenant en outre pour origine le point The Frenet–Serret formulas were generalized to higher-dimensional Euclidean spaces by Camille Jordan in 1874. . e Tous les reparamétrages préservant l'orientation donneront la même base de Frenet, et la même valeur de la courbure. Such a combination of translation and rotation is called a Euclidean motion. ) t . Symétrique (sym centrale) d'un triangle; Carré inscrit dans un triangle; Exercice : Placer le point M à la bonne abscisse; Glisse-nombre; Pajarita Nazari : "Triangles Poursuite" Découvrir des ressources. avec. {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} s Il s agit d un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). d en formant le déterminant de ces deux vecteurs[7]. On peut par ailleurs décomposer le vecteur accélération en une composante normale et une composante tangentielle, en le projetant sur le repère de Frenet. {\displaystyle s} ( {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} In detail, the unit tangent vector is the first Frenet vector e1(s) and is defined as, The normal vector, sometimes called the curvature vector, indicates the deviance of the curve from being a straight line. The Frenet–Serret formulas are also known as Frenet–Serret theorem, and can be stated more concisely using matrix notation:[1]. "Binormal" redirects here. The curvature and torsion of a helix (with constant radius) are given by the formulas, The sign of the torsion is determined by the right-handed or left-handed sense in which the helix twists around its central axis. It suffices to show that, Note the first row of this equation already holds, by definition of the normal N and curvature κ. complète {\displaystyle O} Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète.  ; elle rend compte de la variation de la vitesse scalaire. V {\displaystyle M(s)=(x(s),y(s))} {\displaystyle ({\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})} If the curvature is always zero then the curve will be a straight line. Iniziamo con il triedro di Frenet: il versore tangente e gi a de nito in termini di e 0. Repère de Frenet. Let r(t) be a curve in Euclidean space, representing the position vector of the particle as a function of time. La torsion est donc ce qui fait que la courbe est non plane. C'est vrai que le repère de Frenet peut se révéler perturbant. L'arc est supposé défini par des fonctions de classe d Son 2 ‖ En physique, il ne faut pas confondre cette notion avec celle de référentiel : puisque les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point, s'il s'agissait d'un référentiel alors le vecteur position serait le vecteur nul, et la vitesse serait également nulle. In classical Euclidean geometry, one is interested in studying the properties of figures in the plane which are invariant under congruence, so that if two figures are congruent then they must have the same properties. (Here 2πh is the height of a single twist of the slinky, and r the radius.) c R Le système de coordonnées polaires est bien adapté pour ce type de mouvement. ( f En cinématique ou en géométrie différentielle, le repère de Frenet ou repère de Serret-Frenet est un outil d'étude du comportement local des courbes. M ) Then the unit tangent vector T may be written as. t T Le repère de Frenet au point de paramètre s, souvent appelé aussi trièdre de Frenet est défini par trois vecteurs unitaires T, N, B formant une base orthonormale directe, et en prenant encore comme origine le point de paramètre s. ) ( . → For the category-theoretic meaning of this word, see, "Watching Flies Fly: Kappatau Space Curves", "Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves", "Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure", Create your own animated illustrations of moving Frenet-Serret frames, curvature and torsion functions, Very nice visual representation for the trihedron, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Frenet–Serret_formulas&oldid=1006922332, Creative Commons Attribution-ShareAlike License, In physics, the Frenet-Serret frame is useful when it is impossible or inconvenient to assign a natural coordinate system for a trajectory. Imagine that an observer moves along the curve in time, using the attached frame at each point as their coordinate system. → , est influencée par la géométrie de la courbe : Suppose that the curve is given by r(t), where the parameter t need no longer be arclength. = However, it may be awkward to work with in practice. {\displaystyle y} Ce qu'il faut comprendre, c'est qu'en utilisant ce repère, on dissocie la notion de référentiel de celle de repère. we automatically obtain the first relation. 1 d 2.La courbe en question est = f() dont f est un bon paramétrage (fg est injective , de classe C et f ' ne s'annule pas). 2 , en plongeant le plan euclidien dans un espace de dimension trois, et en notant Repère de Frenet et plan osculateur d'une courbe gauche. The Frenet ribbon is in general not developable. The torsion may be expressed using a scalar triple product as follows. The unit tangent vector, unit inward normal vector, and binormal vector, as well as the osculating, rectifying, and binormal planes slide along the curve. Intuitively, curvature measures the failure of a curve to be a straight line, while torsion measures the failure of a curve to be planar. {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} From equation (2) it follows, since T always has unit magnitude, that N (the change of T) is always perpendicular to T, since there is no change in length of T. From equation (3) it follows that B is always perpendicular to both T and N. Thus, the three unit vectors T, N, and B are all perpendicular to each other. On considère cette fois une courbe de l'espace euclidien orienté à trois dimensions, de classe $${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$$ régulière, orientée et simple paramétrée par l'abscisse curviligne f(s)=(x(s),y(s),z(s)). L'autre composante, appelée accélération normale ( Le cercle osculateur coïncide en permanence avec le cercle sur lequel la trajectoire est inscrite. → i So it suffices to show that .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap}dQ/dsQT is a skew-symmetric matrix. The converse, however, is false. ( f L'orthonormalité des vecteurs de la base de Frenet se traduit par l'antisymétrie de la matrice : il s'agit en fait ici d'un résultat général sur les bases mobiles (en). s 3 T A curve may have nonzero curvature and zero torsion. j ), In his expository writings on the geometry of curves, Rudy Rucker[6] employs the model of a slinky to explain the meaning of the torsion and curvature. Il n'est pas excellent car f '(t) n'est pas unitaire (il n'est pas de longueur constante = 1 ). s {\displaystyle \mathbf {e} _{n}} ) The Frenet–Serret formulas are invariant under flipping the sign of both The general case is illustrated below. Le repère de Serret Frenet est défini en chaque point d'une courbe paramétrée régulière. Roughly speaking, two curves C and C′ in space are congruent if one can be rigidly moved to the other. In terms of the parameter t, the Frenet–Serret formulas pick up an additional factor of ||r′(t)|| because of the chain rule: Explicit expressions for the curvature and torsion may be computed. The slinky, he says, is characterized by the property that the quantity. is the curvature and Passiamo ora alle applicazioni delle formule di Frenet: vogliamo ottenere delle formule che usino solo e le sue derivate per calcolare il triedro di Fren et, la curvatura e la torsione di una curva infatti tali formule sono piu semplici da implementare in Mathematica,. le vecteur vitesse est toujours colinéaire au vecteur tangent. , Gérard Debeaumarché, Francis Dorra, Max Hochart. See the page on, This page was last edited on 15 February 2021, at 15:22. On retrouve que le vecteur vitesse est tangentiel, allant dans le sens du mouvement. | {\displaystyle {\overrightarrow {V}}=v{\overrightarrow {T}}} N et birégulière[9],[10]. These have diverse applications in materials science and elasticity theory,[8] as well as to computer graphics.[9]. Such is often the case, for instance, in, The kinematic significance of the curvature is best illustrated with plane curves (having constant torsion equal to zero). For example, the circle of radius R given by r(t)=(R cos t, R sin t, 0) in the z=0 plane has zero torsion and curvature equal to 1/R. In detail, s is given by. Therefore, it is possible to solve for t as a function of s, and thus to write r(s) = r(t(s)). Il s'obtient en effectuant une rotation de e . Les vecteurs du repère de Darboux sont par construction des fonctions dérivables de s. En outre, ... Lien avec le repère de Frenet. freenet.de – E-mail, cloud, actualités et services By admin Posted on février 15, 2021. freenetMail . {\displaystyle s} = ( κ In particular, the curvature and torsion are a complete set of invariants for a curve in three-dimensions. y {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} T {\displaystyle {\overrightarrow {\gamma _{N}}}} g = n ∧ t. {\displaystyle g=n\wedge t} appelé vecteur normal géodésique. γ Concours national Deug. Le couple (T,N) engendre un plan appelé plan osculateur à la courbe. t ) The formulas are named after the two French mathematicians who independently discovered them: Jean Frédéric Frenet, in his thesis of 1847, and Joseph Alfred Serret in 1851. {\displaystyle c} O [2] The vectors in the Frenet–Serret frame are an orthonormal basis constructed by applying the Gram-Schmidt process to the vectors (r′(s), r′′(s), ..., r(n)(s)). A fortiori, the matrix dQ/dsQT is unaffected by a rotation: since MMT = I for the matrix of a rotation. ) If the axis of the top points along the tangent to the curve, then it will be observed to rotate about its axis with angular velocity -τ relative to the observer's non-inertial coordinate system. d C ou à Le repère de Frenet, et les formules de Frenet donnant les dérivées des vecteurs de ce repère, permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts géométriques associés aux courbes : cercle osculateur, plan osculateur, parallélisme des courbes (en)…. s 3 {\displaystyle {\overrightarrow {N}}(s)} {\displaystyle {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}} Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. is the torsion. Explicitly, the parametrization of a single turn of a right-handed helix with height 2πh and radius r is, Note that these are not the arc length parametrizations (in which case, each of x, y, and z would need to be divided by x Le repère de Frenet, et les formules de Frenet donnant les dérivées des vecteurs de ce repère, permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts géométriques associés aux courbes : cercle osculateur, plan osculateur, parallélisme des courbes (en) … V 2 R On retrouve la proposition VI des Principia de Newton. Concours national Deug. 0 On peut également interpréter la courbure comme la vitesse de rotation de la base de Frenet par rapport à une direction fixe (encore une fois, en paramétrage normal) : voir à ce sujet l'article courbure d'un arc. χ ) En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.. . un coefficient {\displaystyle s} Les équations horaires du mouvement peuvent s'écrire : = constante et . There are further illustrations on Wikimedia. Here the vectors N, B and the torsion are not well defined. ) T {\displaystyle x} Remarque : il arrive qu'on introduise le vecteur Die frenetschen Formeln (Frenet-Formeln), benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Frédéric Frenet, sind die zentralen Gleichungen in der Theorie der Raumkurven, einem wichtigen Teilgebiet der Differentialgeometrie.Sie werden auch Ableitungsgleichungen oder Frenet-Serret-Formeln genannt, letzteres nach Joseph Serret, der die Formeln vollständig angab. {\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}}. Il s'agit d'un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). (also called the torsion, in this context) and the last vector in the frame = A translation moves one point of C to a point of C′. {\displaystyle |R|} If the Darboux derivatives of two frames are equal, then a version of the fundamental theorem of calculus asserts that the curves are congruent. Il convient de voir dans ces « corrections successives » du comportement de la courbe, courbure et torsion, les termes successifs d'un développement limité au point de paramètre s. On peut donner l'expression de la courbure et de la torsion, pour un paramétrage f(t) quelconque[12],[13]: En cinématique du point, la courbe considérée est la trajectoire parcourue par le point. 1.D'abord f n'est pas une courbe . The rows of this matrix are mutually perpendicular unit vectors: an orthonormal basis of Repère de Frenet. → Notamment le vecteur dérivé de R Les deux façons de procéder sont équivalentes. Il est à la fois contenu dans le plan tangent à la surface et orthogonal à la droite tangente à la courbe. {\displaystyle {\overrightarrow {T}}(s)} {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} {\displaystyle \mathbf {e} _{n}} Vectoriellement, il est obtenu de la façon suivante : Le cercle de centre {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} x N Très souvent on abrège les notations en omettant le paramètre Concretely, suppose that the observer carries an (inertial) top (or gyroscope) with them along the curve. In terms of the parametrization r(t) defining the first curve C, a general Euclidean motion of C is a composite of the following operations: The Frenet–Serret frame is particularly well-behaved with regard to Euclidean motions. On appelle centre de courbure Une définition analogue est possible dans The curve is thus parametrized in a preferred manner by its arc length. ) Formules de Darboux. In particular, curvature and torsion are complementary in the sense that the torsion can be increased at the expense of curvature by stretching out the slinky. ( In the limiting case when the curvature vanishes, the observer's normal precesses about the tangent vector, and similarly the top will rotate in the opposite direction of this precession. un vecteur complétant la base La dernière modification de cette page a été faite le 23 novembre 2020 à 10:59. At each point of the curve, this attaches a frame of reference or rectilinear coordinate system (see image). interpretation. + À un instant , au point de la trajectoire, le vecteur de base fait un angle avec la direction de l'axe des (voir figure 13). On se place en un point particulier de paramètre A number of other equivalent expressions are available. r Il est constitué d’une base orthonormée directe ^ t n b u u u1 ,1 ,1 ` Définition du vecteur tangent t u1 Pour facilité la compréhension, supposons que u soit le temps t. d Hence the entries κ and τ of dQ/dsQT are invariants of the curve under Euclidean motions: if a Euclidean motion is applied to a curve, then the resulting curve has the same curvature and torsion. s Le repère de Frenet au point de paramètre s, souvent appelé aussi trièdre de Frenet est défini par trois vecteurs unitaires T, N, B formant une base orthonormale directe, et en prenant encore comme origine le point de paramètre s. Le vecteur T, vecteur tangent unitaire, est introduit comme dans le plan. B T d! Its binormal vector B can be naturally postulated to coincide with the normal to the plane (along the z axis). Les formules donnant vitesse et accélération dans la base de Frenet sont identiques à celles obtenues pour une courbe plane. d s → {\displaystyle \chi _{n-1}} (the orientation of the basis) from the usual torsion. Courbure et cercle de courbure donnent non seulement une idée de la direction dans laquelle la courbe avance (direction de la tangente), mais aussi de sa tendance à tourner de part et d'autre de cette tangente. Comme les vecteurs de la base de Frenet forment en permanence une base orthonormale, leurs dérivées vérifient un certain nombre de relations. N {\displaystyle t} En tant que courbe gauche de l'espace orienté, l'arc γ dispose également d'un autre repère mobile, le repère de Frenet (P(s), T(s), N(s), B(s)). Imagine that an observer moves along the curve in time, using the attached frame at each point as their coordinate system. C , and this change of sign makes the frame positively oriented. γ n Let s(t) represent the arc length which the particle has moved along the curve in time t. The quantity s is used to give the curve traced out by the trajectory of the particle a natural parametrization by arc length, since many different particle paths may trace out the same geometrical curve by traversing it at different rates. s r The resulting ordered orthonormal basis is precisely the TNB frame. FormulesdeFrenet Monier,GéométrieTome7,pages254-259et469 Théorème: 8 >> >> >> >> >> < >> >> >> >> >>: d! . R The Frenet–Serret formulas apply to curves which are non-degenerate, which roughly means that they have nonzero curvature. (This is just the contrapositive of the fact that zero curvature implies zero torsion.). On définit cette fois le vecteur normal unitaire et la courbure simultanément en posant[9],[10], On complète enfin en une base orthonormale directe en prenant pour troisième vecteur de base, appelé vecteur binormal. s 1 Le trièdre de Frenet permet de définir deux autres plans : On suppose désormais la courbe de classe n Auteur : Panpan1663. Schéma des trois vecteurs unitaires du repère de Frenet d’un point d’une courbe en 3D. t 1 τ {\displaystyle P} , s Figure 13 : Base de Frenet et déplacement élémentaire. {\displaystyle s} n d Il est donc possible d'évaluer le rayon de courbure algébrique M {\displaystyle \mathbf {r} } {\displaystyle (0,R)} est appelé cercle de courbure ou cercle osculateur à la courbe en v , ce qui se fait au moyen de la vitesse scalaire, Il est alors possible d'expliciter les vecteurs vitesse et accélération dans la base de Frenet[7]. → {\displaystyle \kappa } Il approche en général la courbe mieux que ne le fait la tangente. = Définitions de formules de Frenet. are defined similarly by. d , on peut définir la courbure algébrique[5]. {\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|} y birégulier, sans le supposer donné en paramétrage normal, il suffit pour exploiter les formules de Frenet de faire le lien entre la dérivation par rapport à régulière, orientée et simple[8] paramétrée par l'abscisse curviligne f(s)=(x(s),y(s),z(s)). d'où la 3 ème formule de Frenet : (25.62) Nous appelons " trièdre de Frenet " associé à au point M, le repère naturel orthonormal de l'espace : (25.63) où, en mécanique, le vecteur est colinéaire à la vitesse et l'accélération tangentielle et est colinéaire à l'accélération normale. The associated collection, T, N, B, κ, and τ, is called the Frenet–Serret apparatus. On calcule On donne : F(t) = ( x(t), y(t) ) généralement, t appartient à un intervalle où F est régulière Régulière : le vecteur F'(t) n'est jamais nul sur I. Repère de Frenet … → , où v On peut les résumer symboliquement en utilisant une matrice. Il y a également invariance par changement du repère fixe de référence. ) (Géométrie différentielle) (Cinématique) Repère formé par la tangente en un point d’une courbe et sa normale dans le plan, à quoi s’ajoute la normale de ces deux vecteurs si on se place en 3D, permettant d’étudier le comportement local de cette courbe, qui peut représenter une trajectoire. on trouve que la courbure γ vaut 1. Le repère de Frenet, et les formules de Frenet donnant les dérivées des vecteurs de ce repère, permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts géométriques associés aux courbes : cercle osculateur, plan osculateur (en), parallélisme des courbes (en) … → The last vector in the frame is defined by the cross-product of the first n-1 vectors: The real valued functions used below χi(s) are called generalized curvature and are defined as, The Frenet–Serret formulas, stated in matrix language, are, Notice that as defined here, the generalized curvatures and the frame may differ slightly from the convention found in other sources. ) En effet, jusqu'à maintenant, tu te plaçais dans un référentiel (terrestre par exemple) et tu y collais un repère $\backslash ((O,\; \backslash vec\{i\},\backslash vec\{j\})\backslash )$ qui était fixe dans ce référentiel. 1 {\displaystyle \mathrm {d} {\overrightarrow {OM}}(s)/\mathrm {d} s} N ds = ¡! {\displaystyle f(t)=(x(t),y(t))} {\displaystyle {\overrightarrow {\gamma _{N}}}={\frac {v^{2}}{R}}{\overrightarrow {N}}} Relations qui donnent l'expression des dérivées respectives des vecteurs , et, sur le repère de Frenet en un point .
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