Cours du chapitre 5. }f_3(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2},\ x\in\mathbb R Si $x\geq 0$, on a : Arbre pondéré Exercice n° 10. Find books Pour la fonction de répartition, séparer les cas $x<0$ et $x\geq 0$. Ainsi, $f_5$ est bien la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X_5$. On détermine la densité de $Y$ en dérivant cette fonction de répartition. Soit $X$ une variable aléatoire admettant $f$ pour densité. exercices corrigés loi de densité terminale es pdf. 9 33 10 0. x x. Calculer la probabilité qu'un composant fonctionne plus de 24 heures dans l'appareil électrique Tensio. $$F_Y(x)=\frac{1}{2}3^{\frac{\ln x}{\ln 3}}=\frac{x}{2}.$$ et calculs de lois. TD n°2: Lois de probabilité à densité au Bac. Soit $t\in\mathbb R$. TD n°2: Lois de probabilité à densité au Bac. Remarquons d'abord que $Y$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$. $$\int_{-\infty}^0 3^xdx=\frac{1}{\ln 3}.$$ En effet, Calculer la fonction de répartition de $T$. On a $Y\leq t\iff 2X+1\leq t\iff X\leq (t-1)/2.$ On mesure une centaine de clous produits, choisis au hasard et on en fait la moyenne. Des extraits d'exercices du bac ES/L avec correction intégrale. $$F(x)=\frac{1}{2}\ln 3\int_{-\infty}^x e^{t\ln 3}dt=\frac{3^x}{2}.$$ Stanford Libraries' official online search tool for books, media, journals, databases, government documents and more. \end{array}\right. HP = Hors nouveau programme 2012-2013. 1) Quelle est la probabilité qu'il soit solution de l'inéquation . Télécharger Exploration de Données et Méthodes Statistiques Data Analysis & Data Mining avec le Logiciel R PDF Livre. C'est très classique. 24 exercices corrigés de probabilité (statistiques) en pdf Màj le 5 mai 2019 Je mets ci-dessous 24 exercices de statistiques (probabilités) avec correction, Les exercices concernent : Le Vocabulaire des probabilités, Dénombrements simples et probabilités - équiprobabilité. Série d'exercices corrigé # Bac_2020 Probabilité loi binomiale Fonct... ion exponentielle-calcul intégral Proposé par Mr … Justifier que g est une densité de probabilité. Converted file can differ from the original. On ouvre le livre à une page quelconque. &=&\frac{x+1}{2}. Exercices corrigés distributions tempérées pdf. \end{array}\right.$$. Calculer la longueur $L_1$ de la corde en fonction de $X$. Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ ayant $f$ pour densité. Et 2, tous les boules : 2 0 ; 1 9 juin 2018 pour former les bérets verts et spécialité. Ce n'est pas une densité de probabilité. pour que la probabilité d'épuiser ce réservoir soit inférieure à $10^{-5}$? L'espérance de $L_3$ vaut donc \begin{eqnarray*} On note $F_X$ la fonction de répartition de $X$. Si $t\in [0,1]$, on a Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques RÉVISION BAC. P(Y\leq x)&=&P(\varphi(X)\leq x)=P(X\leq\varphi^{-1}(x))\\ Calculer son intégrale (on pourra remarquer que $f$ est donnée sous la forme $u'/u^2$). probabilités avec exercices corrigés et devoirs Licence de mathématiques, 3i`eme année Bruno Saussereau 1 Année universitaire 2013-2014 1Bruno Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, UFR Sciences & Techniques, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, France. $$F_Y(x)=1-\frac{1}{2}3^{-\frac{\ln x}{\ln 3}}=1-\frac{1}{2x}.$$ &=&e^tF'(e^t-1)+e^t F'(1-e^t)\\ Exercices corrigés de mathématiques pour les élèves de TES/TL. On a donc i. E(X)est aussi appelé "valeur moyenne" de X 1.4 exercices exercice 1 : La durée de vie d’une marque d’ampoules en centaines d’heures est modélisée par la variable aléatoire X où X a pour densité de probabilité f(x)=0,5e−0,5x pour x ≥ 0 1. justifier que f est positive pour x > 0 2. montrer que pour tout a > 0, Z a 0 Substitua aux enseignants de mp, autrefois appelées coniques, les divise pas autre. Ainsi, $Y$ admet pour densité $f(t)=\frac{1}{2\sqrt t}e^{-\sqrt t}$ si $t\geq 0$, $f(t)=0$ sinon. \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} On suppose que $X\sim \mathcal N(m,\sigma^2)$. On considère le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Les calculer. Déterminer la fonction de répartition et une densité de $Y$. Montrer que pour tout réel $\ell\in[0,2]$, il existe une unique corde orthogonale à $[AB]$, dont une extrémité $M$ est sur le quart de cercle $\overset{\frown}{BD}$ et dont la longueur vaut $\ell$. Par la formule de transfert, l'espérance de $L_1$ vaut $Y$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$, et on a : On a Pour $t<0$, $g(t)=G'(t)=0$. Montrer que $\varphi$ réalise une bijection de $\mtr$ sur $]-1,1[$, et déterminer sa bijection réciproque. $$\int_{\mathbb R}f(x)dx=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2(1+x)^2}dx=\left[\frac{-1}{1+x}\right]_0^1=1.$$. Si $t\in [-1,0]$, on a Exercices corrigés de statistiques inférentielles - Tests d'hypothèses Exercice 1 Tests classiques - Probabilité critique Dans un centre de renseignements téléphoniques, une étude statistique a montré que l'attente (en secondes) avant que la communication soit amorcée suit une loi normale de moyenne 18 et d'écart-type 7,2. Exercice 1. }f_4(x)=\left\{ Cours du chapitre 6. $$Y\hookrightarrow \mathcal{U}(]-1,1[).$$. Ci-dessous vous trouverez des exercices de probabilités de Martine Quinio Benamo. On considère que la corde aléatoire est déterminée par le choix d'une de ses extrémités $M$ sur le demi-cercle $\overset{\frown}{ADB}$. fonction qui n'est pas intégrable. On contourne cette difficulté en associant à la variable X un intervalle de R et en définissant une densité de probabilité. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} 24 exercices corrigés de probabilité (statistiques) en pdf Màj le 11 décembre 2019 Déterminer la fonction de répartition de $X$. \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} La fonction $f$ est continue sur $\mathbb R$ et positive. $$f_3(-x)=\frac{\exp(-x)}{\big(\exp(-x)+1\big)^2}=\frac{\exp(-x)}{\exp(-2x)\big(1+\exp(x)\big)^2}=\frac{\exp(x)}{\big(\exp(x)+1\big)^2}.$$ Par parité de cette fonction, on a $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi2\ .$$, La valeur moyenne de la fonction $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ sur l'intervalle $[-1,1]$ vaut donc De même, on a a.3^x&\textrm{si }x<0. Des exercices d'application directe du cours. Au voisinage de $+\infty$, on a : Il suffit de dériver, et on trouve Elle est donc la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ si $\lim_{x\to-\infty}\int_x^0 f(t)dt=1$. $$-\int_{\mathbb R}f(x)\ln\varphi(x)dx=\frac{\ln 2\pi\sigma^2}{2}\int_{\mathbb R}f(x)dx+\frac1{2\sigma^2}\int_{\mathbb R}x^2f(x)dx=\frac12\left(1+\ln(2 \pi\sigma^2)\right).$$. &=&\left[xe^x\right]_0^{+\infty}-\int_{-\infty}^0 e^xdx\\ On a donc TD n°1 : Lois de probabilité à densité. vous trouverez les exercices ( exemples ) corrigés à la fin du cours.Variable aléatoire discrèteDéfinitionLorsque l'on associe à chaque éventualité d'un univers Ω d'une expérience al \begin{eqnarray*} &=&-1. En effet, pour tout $x\in\mathbb R$, on a Reprendre les mêmes questions avec $Y=X^2$. Utilisant les limites de l'exponentielle en $+\infty$ et $-\infty$, on en déduit que Loi d'une variable aléatoire absolument continue X dont la densité de probabilité est : m et σ étant deux nombres réels, σ strictement positif.. En conclusion, on a Calculer l'entropie d'une variable aléatoire uniforme. Par des considérations d'aires et sans chercher à trouver une primitive, calculer Licence 3 Probabilités Exercices corrigés de TD Cécile Mercadier, Johannes Kellendonk, Laurent Tournier Associés au cours de Stéphane Attal Année universitaire : 2008-2009 Université Claude Bernard Lyon 1 Probabilités Année universitaire 2008-2009 Feuille de TD 1 Dénombrement Exercice 1 Trois cartes sont tirées d'un jeu de 52 cartes. Des exercices d'application directe du cours directement liés au poly de cours ci-dessous. Lois de probabilité à densité - Exercices non corrigés ; Lois de probabilité à densité - Résumé de cours et série d'exercices ; Lois de probabilité à densité - Cours (part 1: utiliser une loi de probabilité à densité) et $\int_{-\infty}^0 |x|e^x dx$ converge (par comparaison à $1/x^2$ par exemple, ou par calcul en effectuant une intégration par parties). Le réservoir doit contenir au moins 900 litres. \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \frac{1}{|x|^3}&\textrm{ si }|x|>1\\ Notre plateforme propose des exercices corrigés de probabilité sous forme des PDF. $X$ admet-elle une espérance? \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Considérons ensuite une variable aléatoire $U$, indépendante de $\varepsilon$ qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$. Donc $X$ n'admet pas d'espérance. $$h(X)=\frac 12\left(1+\ln(2 \pi\sigma^2)\right).$$, On souhaite prouver que, parmi les variables aléatoires de variance donnée, les lois normales sont celles {\bf Épilogue : une troisième méthode.}. On doit donc vérifier que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge et est égal à 1 pour déterminer s'il s'agit d'une densité. qui admettent une entropie maximale. Pour réussir au bac et réussir en terminale, il est primordial de bien connaître tous les chapitres du programme de maths de terminale. $$f(x)=ce^{-|x|}.$$. Maintenant, pour $\lambda,t\geq 0$, $1-\exp(-\lambda t)\in [0,1]$, et donc, utilisant la fonction de répartition d'une loi uniforme, Licence 3 Probabilités Exercices corrigés de TD : Licence 3 Probabilités Exercices corrigés de TD Par exemple, on a souvent besoin de conna^ tre la loi de … Première ES Tous les Devoirs Surveillés, interrogations de mathématiques et les corrigés. $$F_X(t)=\int_{-\infty}^t \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx=\frac 1\pi\left[\arctan(x)\right]_{-\infty}^t=\frac1\pi\arctan(t)+\frac 12.$$ Tous les exercices sont tirés de sujets de bac de 2015 24 exercices corrigés de probabilité (statistiques) en pdf Màj le 11 décembre 2019 Je mets ci-dessous 24 exercices de statistiques (probabilités) avec correction, Les exercices concernent : Le Vocabulaire des probabilités, Dénombrements simples et probabilités - équiprobabilité, Arbre pondéré, Probabilité … Déterminer la fonction de répartition de $Y$. 0&\textrm{ sinon} En outre, $\lim_{x\to-\infty}\varphi(x)=-1$ et $\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+1$ : $\varphi$ réalise une bijection strictement croissante de $\mtr$ sur $]-1,1[$. Exercice n°6 (correction) On choisit un nombre réel au hasard dans l'intervalle [0;2]. En effet, au voisinage de $-\infty$, on a $$, Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb R$, déterminer lesquelles sont la densité d'une variable aléatoire à densité. Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres, admettant une entropie. On a A la lumière de ces deux méthodes, quel commentaire peut-on faire concernant l'espérance de la longueur d'une corde aléatoire ? $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)-a\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=a\pi.$$ M1: EXERCICES DE PROBABILITÉS STATISTIQUES : Niveau: Supérieur, Master, Bac+4M1: EXERCICES DE PROBABILITÉS-STATISTIQUES 1. Il suffit que $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$. $$\begin{array}{lll} Faire le calcul et utiliser les valeurs connues des moments d'une gaussienne. Par exemple on lance un dé cubique non pipe et on intéresse à la variable aléatoire qui donne la parité du numéro obtenu. Remarque : si $X$ désigne l'absisse du point $M$, on a $X=\varepsilon\sqrt{1-(U/2)^2}$. $$F_T(t)=1-\exp(-\lambda t).$$ More. que $E(X^{2p})=I_p$. Probabilité : Exercices corrigés (Broché) | Hervé Carrieu | download | Z-Library. $$E(X)=E(e^Y)=\int_{\mathbb R}e^y\frac{e^{-y^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dy=\sqrt e\int_{\mathbb R}\frac{e^{-(y-1)^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dy.$$ \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} Le nombre d'erreurs rentrées sur cette page est une variable aléatoire. On utilise la concavité ou bien on fait une étude de fonctions. $E(X^{2p})=I_p=(2p)!$. [S]L. Schwartz. $x\mapsto \frac{1}{1+e^{-x}}$ est une primitive de $f$. Ainsi, $X_3$ admet une espérance. $f$ est continue, positive. \cos x&\textrm{ si }x\in [0,\pi/2]\\ On reconnait la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Résumé de cours Probabilités : conditionnement et indépendance. Résumé du cours et énoncés des exercices du chapitre 6 Donc $T$ suit une loi $\mathcal E(\lambda)$. Imprim en France. Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques On choisit une personne au hasard dans cet échantillon. Déterminer $a$ pour que $f$ soit une densité de probabilité. $$E[L_2]=2\times E[\sin T]=2\int_0^\pi\sin t\,\frac{dt}\pi=\frac2\pi\left[-\cos t\right]_0^\pi=\frac4\pi\approx 1,27\ .$$. Démontrer que $Y$ est une variable aléatoire à densité, et déterminer la densité de $Y$. En supposant que les données de cet échantillon sont des réalisations d’une variable de loi inconnue, donner une estimation non … Exprimer l'événement $Y\leq t$ en fonction d'événements liés à $X$. La densité de probabilité associée à une loi normale est représentée par une courbe. You can write a book review and share your experiences. Rappels de probabilités Exercice 1. On pose $Y=3^X$. On en déduit que \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \end{eqnarray*}. Il en est de même si l'extrémité $M$ se situe sur le quart de cercle $\overset{\frown}{DA}$. $f$ doit être une densité de probabilité, et donc on doit avoir 0&\textrm{ sinon.} La fonction $f$ est positive et continue par morceaux. $f$ est une fonction définie sur $\mtr$, continue, positive. Liste des exercices corrigés Magis-Maths chapitre:Proba. Ainsi, pour $t<1$, on a $f(t)=\frac 12e^{(t-1)/2}$ et pour $t\geq 1$, $f(t)=0$. et on conclut par comparaison à une intégrale de Riemann divergente. La fonction $f$ est continue par morceaux et positive. $$E(X)=\int_0^{+\infty}\big(1-F(x)\big)dx.$$. On reproduit la même démarche. Que représente la courbe d'équation $y=\sqrt{1-x^2}$? Hermann, 1997. Annales ancien programme. De plus, puisque $f_1$ est non-nulle seulement sur l'intervalle $[0,\pi/2]$, $X_1$ admet une espérance donnée par On a $\int_0^1 (1-x)dx=\frac 12$ et $\int_{-1}^0 (1+x)dx=\frac 12$. &=&P\left(X\leq \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)\\ $$F_{X_4}(t)=\int_{-1}^0 f_4(x)dx+\int_0^t (1-x)dt=\frac 12+t-\frac{t^2}2.$$ Alors que ces documents sont une ensembles des travaux dirigés (TD) accompagnés de leurs corrigés. Maths probabilité conditionnelle stmg exercices corrigés de mauriac pense que l'on fait régner une tête sans bornes d'un. $$F_{X_4}(t)=\int_{-1}^t (1+x)dx=\frac 12+t+\frac{t^2}2.$$ Soit $f$ la fonction de $\mtr$ dans $\mtr$ définie par de densité p, déterminer sa fonction de répartition et calculer E[X]. D'autre part, puisque $f_4$ est nulle en dehors de $[-1,1]$, $X_4$ admet une espérance (il n'y a pas de problème de convergence d'intégrale). Exercices corrigés probabilité universitaire. $$F_X(t)=\int_{-\infty}^t e^xdx=e^t.$$, La fonction $xf$, qui est nulle sur $[0,+\infty[$ et continue sur $\mathbb R$ sauf en zéro, est intégrable au voisinage de $-\infty$ car négligeable devant $1/x^2$ en ce point. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme $\mathcal U([0,1])$. Mais 1+x&\textrm{ si }x\in [-1,0]\\ Other readers will always be interested in your opinion of the books you've read. Démontrer que $X$ admet des moments de tout ordre. Whether you've loved the book or not, if you give your honest and detailed thoughts then people will find new books that are right for them. Ainsi, $f$ admet une espérance. $f$ est une fonction continue par morceaux et positive. Autrement dit, on cherche $x$ le plus petit possible tel que $F_X(x)>1-10^{-5}$. On en déduit que $F_X(x)=0$ si $x\leq 0$. Un livre de 400 pages contient 100 erreurs distribuées au hasard. Par imparité de la fonction $x\mapsto x^n e^{-|x|}$ si $n$ est impair, les moments d'ordre impair sont nuls. Des extraits d'exercices du bac ES/L avec correction intégrale. Puisque $f$ est nulle sur $]-\infty,1[$, on a $F_X(t)=0$ si $t\leq 1$. &\quad\quad& D'où le résultat. Quelques exercices de probabilité 1. La fonction $f_6$ n'est pas intégrable sur $\mathbb R$. On considère une variable aléatoire $X$ dont la densité est donnée par {\bf Première méthode.} Démontrer que, pour tout $x>0$, $\ln x\leq x-1$. Montrer que $X$ admet une espérance $E(X)$ et la calculer. Ainsi $$F_{X_5}(t)=\frac 12+\int_1^t \frac{1}{x^3}dx=1-\frac{1}{2t^2}.$$ \begin{eqnarray*} Pour $f_3$, reconnaitre une forme du type $u'/u^2$. Mais on a affaire à une intégrale de Riemann divergence en $+\infty$. Cours sur les Lois de probabilité à densité Exercices corrigés de mathématiques pour les élèves de TES/TL. En $+\infty$ ou $-\infty$, $f$ est équivalente à $\frac1{x^2}$ qui est une intégrale de Riemann convergente en l'infini. Utiliser le théorème de transfert plutôt que la densité. On a donc $c=5$. Notons $x$ l'absisse du point $M$. Donc $f$ est une densité de probabilité si et seulement si $a=1/2$. \end{array}\right.\\ Les moments Ceci tend vers $+\infty$ si $x$ tend vers $+\infty$. Déterminer la fonction de répartition de $X$. Notons $F_X$ la fonction de répartition. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{a}{1+x^2}$. Bien sûr, le point $M$ sur le quart de cercle étudié est uniquement déterminé par son abscisse. Probabilité : Exercices corrigés | Hervé Carrieu | download | Z-Library. Exercices corrigés.Masson, 1996. $$\int_x^0 e^tdt=\left[e^t\right]_x^0=1-e^x\to 1$$ Download books for free. On en déduit immédiatement que $I_p=(2p)!I_0$, et il est aisé de voir que $I_0=1$. E(X)&=&\int_{-\infty}^0 xe^xdx\\ Regarder d'abord où $Y$ prend ses valeurs, puis calculer la fonction de répartition en utilisant la bijection réciproque et la loi de $X$! Imprimé en France ISBN : 978-2-7598-0006-3 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Lois de probabilités à densité - Exercices EXERCICES - Densité sans intégrales, variable aléatoire Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, dire si la fonction f est une densité pour une loi de probabilité sur I : 1. f (x)=2−x I=[0;3] 3. f (t)=3t2 I=[0;1] 2. f (t)= ale S (2019-2020 Dans un lycée, quel que soit le niveau, un élève peut être $$xf(x)\sim\frac{1}{2x},$$ En effet, pour $n=2p$, posons $I_p=\int_0^{+\infty}x^{2p}e^{-x}dx$, de sorte Faisant tendre $b$ vers $+\infty$ et $a$ vers $-\infty$, on trouve que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$. &=&\frac{1}{1+\exp\left(-\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)}\\ Calculer la dérivée de $\varphi$, étudier son signe, et appliquer un théorème du cours. Cours sur les Lois de probabilité à densité \begin{eqnarray*} {\bf Conclusion.} Vérifier que $$P(Y\leq x)=P(3^X\leq x)=P\left(X\leq \frac{\ln x}{\ln 3}\right).$$ \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Résumé de cours Exercices et corrigés. ... - Prévision par Intervalle de Confiance et par Densité dans un Modèle non Linéaire: ... Exercice Vrai-Faux, Election Présidentielle, Estimation de probabilité de vote. On dit que $X$ suit une loi log-normale de paramètres $(m,\sigma^2)$ si $Y=\ln X$ suit une loi normale La fonction $f$ est continue sur $\mtr$, positive si $a\geq 0$, et on a : \begin{eqnarray*} Plutôt que d'utiliser la densité, on va utiliser le théorème de transfert et écrire Notons $X_1$ une variable aléatoire de densité $f_1$. Elle va être la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ si elle est intégrable et si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$. $f$ est bien une densité de probabilité. On supposera dans la suite que la fonction Remarquons que $f_3$ est de la forme $u'/u^2$ avec $u(x)=e^x+1$. $$Y\leq t\iff X^2\leq t.$$ On a, pour tout $n\geq 1$, $x^ne^{-|x|}=o(x^{-2})$ en $\pm \infty$, ce qui prouve la convergence de l'intégrale. Or, une primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ est $\arctan(x)$. ... Probabilité continue: densité de probabilité : Cours Partie I - très IMPORTANT - Duration: 7:04. Déterminer la loi de $T=-\frac 1\lambda\ln(1-X)$, où $\lambda>0$. Comme $L_1$ est positif, on en déduit donc que $L_1=2\sqrt{1-X^2}$. On appelle X la variable aléatoire qui associe à chaque lancer la somme des numéros obtenus. Pour $x>0$, on a Une preuve facile utilise le théorème de Fubini : on commence par remarquer que $$\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dt$$
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